素数大富豪とは？初心者のためのルール＆ちょっとしたコツ集

最近、とあるトランプゲームが話題です。

素数大富豪をして頭がフル回転したw
頭使いすぎて、段々と正常な計算ができなくなって行ってヤバい。

これ面白いわwww pic.twitter.com/ZsSmNbRBXx
— ひぃ@超会議1日目のみの参加 (@SempreSonhando_) 2017年2月12日

タイトルで明示しておきながら「とあるトランプゲーム」も何もないですが、それまで一部の数学好きにしか知られていなかった「素数大富豪」。この素数を使ったトランプゲームが2017年に入ってから急速に数学好き以外にも広がりを見せています。

この記事は、素数大富豪をはじめて知った人が最初に見ることを期待して書かれたページです。「ルール」「ちょっとしたコツ＆tips」「よくあるご意見＆ご質問」の３部構成になっていますので、ルールはすでに知ってるよ！って方は後半からお読みください。

ルール

用意するもの

トランプ：一組以上

プレイヤー：２人以上

素数判定機

ゲームの流れ

もっとも基本的には、このゲームは「場と同じ枚数でより大きい素数を出していく」というゲームです。勝利条件は相手より早く自分の手札をなくすこと。

素数とは「自分より小さい正の数（１以外の）で割り切れない数」のことを言います。例えば「５」という数は自分より小さい４、３、２で割ると小数点以下が出てきてしまって割り切れないので、素数です。対して例えば「６」だったら、３や２で割り切れてしまうので素数ではありません。５は出せるけど６は出せない、というわけです。素数大富豪をプレイするにはこの理解で十分ですが、より厳密な素数の定義を知りたい方はよろしくおググりください。

素数 - Wikipedia

ちなみに命名元のゲーム「大富豪」とはほぼ別ゲーなので大富豪のルールを知っている必要はありません。

まずプレイヤーにカードを配ります。このゲームは山札が必要なので、全部配りきるわけではなく決まった枚数を均等に配ります。枚数の指定はありませんが７〜11枚程度だといい感じです。

じゃんけんで最初に出す人を決め、ゲーム開始です。

カードの出し方（基本）

前述の通り、素数が出せるわけです。場に何も出ていないとき、最初の人は好きな数を出せます。例えば最初の人が２と出したら、次の人は「同じ枚数でより大きい素数」の５や７などを出せます。ここで次の人がキング、つまり13を出したとします（キング、クイーン、ジャックはそれぞれ13,12,11として扱われます）。一枚出しでこれより大きい素数は存在しないため、場が流れます。そして次は13を出した人からスタートし、この人が自由に出せるようになる、というわけです。

さて、このままだと４とか６とかＱみたいな偶数カードを出しようのない悲しみのゲームになってしまいます。もちろんそんなゲームなわけはなくて、素数大富豪では「２枚出し」「３枚出し」...「 $n$ 枚出し」ができるようになっています。

例えば４と７を並べて「47」、10と３を並べて「103」（足して13ではなく、そのまま横にくっつけます）、６とＱと１で「6121」などのようにして出すことができます。ちなみにこれらは全部素数です。

２枚出しの流れを具体的に見てみると、まず最初の人が23を出すとする。次が109。次の人がＱＫで1213。ここで全員がパスすると、場が流れてその人から開始、という風になります。このゲームでは枚数で縛りが発生するので、場に２枚出ているときは次の人も２枚でしか出せません。

もちろん、３枚出し、４枚出し、５枚出し...といくらでも出すことができ、一度に出せる枚数の制限はありません。

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（例：５枚出しで139753が出ている）

自分のターンでできること

「全員がパス」としれっと言ってしまったので、ここで自分のターンでは何ができるのかを説明しておかなくてはなりません。

自分のターンではもちろんカードを出す権利があるわけですが、カードを出さずに「パス」を選んでも構いません。ペナルティはありません。出せる素数がないときはもちろん、出すことはできるけど、後々のためにカードを温存しておきたいときなどにも使えます。ある人が何かカードを出して、それ以外の人が全員パスした場合、場が流れます。さっき言ったのはそういうことでした。

そしてさらに、自分のターンではいつでも「山札から一枚引く」ことができます。手札が２２４４６６８８とかそんな感じで偶数しかない場合、このルールがないと詰んでしまいます。

「いつでも」というのはつまり引いてから考えてもいいということです。「手札が１と２かぁ〜21は素数じゃないしいなあ厳しいなあパスしようかなあ、いや待てよ、山札から一枚引こう！　よし10を引いたぞ、1021が出せる！」みたいなことが認められているわけです。

「山札から引くか否か」×「パスするか否か」で４通りの行動が取れるということになりますね。

カードの出し方（特殊）

①合成数出し

カードの出し方はまだ他にもあります。特にこのゲームを強く特徴づけるものとして、「合成数出し」というものがあります。

例えばこのゲームでは一枚出しとして「６」を出すことができます。え？　６は素数じゃないのに？　どういうこと？

６を出すには、６の素因数である２と３を素因数場に捨てれば、２×３の答えである６を出すことができます。

つまり、手札に「出したいカード」と「そのカードのすべての素因数」があれば、合成数でも出すことができるというわけです。

もう一つ例をあげましょう。手札に２、２、２、７、８がある場合、２と２と７とを捨てて、28（つまり、２×２×７です）を「２枚出し」として出すことができます。２枚出しなのに５枚も一気に消費できておトク！！ってなわけですね。

注意しなければならないのは、４×７として28を出すことはできないということです。４は素数ではないからですね。ちゃんと「素因数分解」しなければなりません。

さらにもう一つ、例えばあなたが「16」を出したかったとします。16は２×２×２×２なので、２が４枚も必要で大変です。こんなとき、2⁴（２の４乗）として16を出す、ということも認められています。つまり２と４と１と６があれば、２と４を捨てて１と６で16が出せる、というわけですね。

素因数場に捨てられたカードは場が流れるときに一緒に流されます。

この「合成数出し」、実は意外と重要なルールです。素数大富豪ってつまり「役が無限にある花札」みたいなもんですから、別にそれだけなら「フィボナッチ数大富豪」や「ラッキー数大富豪」でもよかったわけです。しかしこの合成数出しによって「素数は無条件で出せる、素数じゃなくても素因数分解をすれば出せる」ということになりました。まさに素数の素数としての性質をフルに活用したルールだといえるでしょう。このルールこそが素数大富豪を素数大富豪たらしめていると言っても過言ではないと思います。

②グロタンカット

アレクサンドル・グロタンディーク「57は素数」

と、言ったかどうかは定かではありませんが、 20世紀を代表する数学者であるグロタンディーク（Alexander Grothendieck, 1928 - 2014）が、57は素数ではないのに素数だと間違えてしまった...という有名なエピソードがあります（ちなみに57=3*19）。ここから、一種のジョークとして、57という数には「グロタンディーク素数」とう称号が与えられています。このエピソードに敬意を表して、素数大富豪ではこのグロタンディーク素数に特別な役割を与えているのです。

普通の大富豪では「８切り」という、８を出した瞬間場が流れて自分のターンにできる、というルールが採用されることがあります。その「８切り」に相当するルールがこの「グロタンカット（グロタンディーク素数切り）」です。

場に出ているのが２枚で57より小さいとき、57を出して場を強制的に流すことができます（他の枚数では出しようがないので２枚出し限定です）。このとき「グロタンカーーーーーーット！！！」と叫びながら出すと必殺技みたいで気持ちいいので推奨されています。

③ラマヌジャン革命

よくある質問として「革命はないの？」というのがあります。やはり「大富豪と言えば革命」という意識があるのでしょう。このゲームの誕生当初は革命はなかったのですが、そういった声を受けて後から追加された新ルールがこの「ラマヌジャン革命」です。

「ラマヌジャンのタクシー数」と呼ばれる1729は、合成数（1729=7*13*19）でありながら、精度の高い素数判定アルゴリズムにおいて素数だと間違って判定されてしまう「絶対擬素数」でもあります。いやなにその名前カッコよすぎやろ

そんな1729に敬意を表して、こちらにも特別な役割が与えられています。

４枚出しとして1729を出すと、今までとは逆に小さい素数が強くなります。まさに革命です。このルールの追加により、今まであまり脚光の当たらなかった素数たちにもステージに立つ機会が与えられたというわけです。素晴らしいですね。

こっちはグロタンみたいに叫ばずに「──ラマヌジャン革命」と静かに、それでいて仰々しく言うとカッコいいと思います。

その他の留意点

①ジョーカーの扱い

ジョーカーは０から13までの好きな数として使えます。そのため例えば８とジョーカーを出したときは、「89」とか「811」とか宣言しながら出さなくてはなりません。

「０」も出せることで例えば「1009」みたいなジョーカーなしでは出し得ない素数にも手を差し伸べているわけです。

また、１枚出しのときに限りジョーカーは最強のカードとして扱えます。つまり13にも勝てる、と。これは別にジョーカーが17や19として使えるというわけではなく、ただ１枚出しのときは最強なんだよ、ということです。

②ペナルティ

出した数が素数でなかったり、素因数分解の計算が間違っていたりした場合はそのプレイヤーはペナルティを受けなくてはなりません。

ペナルティを受けるプレイヤーはまず出した分のカードを手札に戻し、さらにその枚数と同じ枚数だけ山札から引きます。３枚出して間違えたらその３枚を戻してさらに山札から３枚引くということです。

調子に乗って11枚とか一気に出すことはもちろん一発であがれてしまう可能性もありますが、素数でなかったときに大量のカードを引かなくてはならないという大きなリスクもあるわけです。まさにハイリスク・ハイリターン。

ちなみにこのゲーム、カードを出す前にアプリなどを使って素数判定することは禁止されています。素数かどうかわからないけど一か八か出してみよう！からの、よっしゃ素数だった！という興奮も、このゲームの醍醐味の一つなのです。これはこうやって大きなペナルティが課されているからこその興奮といえるのかもしれません。

素数大富豪のルールは以上です。実はネット上にはすでに素数大富豪の詳細なルールが存在します。このゲームの考案者その人である数学者、関真一朗氏が自ら書かれたものがこちら（pdfへのリンク）にあるのですが、こちらのルールブックは正確さ、厳密さ、取りこぼしのなさを希求して書かれたもののため、初心者フレンドリーではありません。私がこの記事を書いた時点では、初心者フレンドリー、かつ網羅的なルールブックがネット上にあまり見当たらなかったため、今回筆をとった次第でございます。こちらの記事がみなさまの素数大富豪活動の一助になれば幸いです。

ちょっとしたコツ＆tips

そうは言っても、ルールを理解したというだけでは実際どう動いたらいいものか不安です。ここからは、そんな初心者の方が知っておくと便利なコツ、tipsをいくつかご紹介します。

・実際どうやって出す前に素数判定してんの？

与えられた数が素数かどうかがすぐに分かるようなアルゴリズムは今のところ存在しません。地道にその数以下の素数で割っていくしかないのです。例えば1211などは７で割ってみると割り切れちゃうので、あコリャ出せないな、と判断できるわけです。

・３の倍数判定法

とはいっても、いちいち割らずに判定できるようなものも中には存在します。その代表格が「３の倍数」です。

証明は省略しますが、「その数のすべての桁を足すと３の倍数になるならば、その数自体も３の倍数」という法則があります。

例えば42357などは、地道に３で割ろうとすると大変ですが、それぞれの桁を全部足すと21となり、これは３の倍数なので42357も３の倍数であると判定できます。

自信のない数を出す前に最低限、３の倍数かどうかだけでも判定しておくとよいでしょう。

・２枚出し強い順

２枚出し素数で大きいものは上から順に1213、1013、911、811、613となってます。より大きい素数を出せばそれだけ自分の手番にできる確率が高いので、大きいものを知っておくと有利です。

・一の位になるのは1,3,7,9のみ

出そうとしている数の一の位が偶数だと、その数全体も偶数です。一の位が５だと、その数全体は５の倍数です。というわけなので、一の位として使えるカードは１か３か７か９に限定されます。これを知っているだけでもけっこう違います。

・四つ子素数

例えば100台は、一の位に１、３、７、９のどれをつけても（すなわち、101、103、107、109）全部素数になります。このような素数の４つ組を「四つ子素数」といい、ほかにも190台や820台などがあります。４つもいっぺんに憶えてしまえるのでお得ですね。

・「パッと見素数」に気をつけろ！

87や91のように、「パッと見で素数に見えちゃうけどその実、合成数」というやつらのことを「パッと見素数（glance prime）」といいます。パッと見素数は本当にヤバいです。今までどれだけパッと見素数に足元をすくわれた人を見たかわかりません。こちらについて詳しくは以下の記事をご参照ください。

www.ajimatics.com

・何を残すかのほうが大事！

素数大富豪では「何を出すか」ももちろん大事ですが、「何を残すか」の方がむしろ大事です。その場しのぎに、５が出てるから７！　Ｊが出てるからＫ！　とやっていては、最終的に手札に偶数ばかりが残った、あるいは最後の一枚が偶数であがれない！　ということになりかねません。出せるかどうかだけでなく、あがれるかどうかにも気を配ってやるとよいでしょう。